Question

已知函数f（x）=|x+2|+|x-1|．（1）解不等式f（x）≤-x2+4；（2）当f（x）≥|a-1|对任意x∈R恒成立，求实

已知函数f（x）=|x+2|+|x-1|．（1）解不等式f（x）≤-x2+4；（2）当f（x）≥|a-1|对任意x∈R恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）解不等式f（x）≤-x²+4，即|x+2|+|x-1|≤-x²+4，等价于
①

x＜?2 ?x?2+1?x≤?x2+4

，或②

?2≤x＜1 x+2+1?x≤?x2+4

，或③

x≥1 x+2+x?1≤?x2+4

．
解①求得 x∈?，解②求得-1≤x≤1，解③求x=1，
综上可得，不等式的解集为[-1，1]．
（2）由题意可得f（x）的最小值大于或等于|a-1|，而由绝对值的意义可得f（x）=|x+2|+|x-1|的最小值为3，
∴3≥|a-1|，即-3≤a-1≤3，
求得-2≤a≤4，
即a的范围是[-2，4]．