Question

（2007?滨湖区一模）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=20cm，CD=25cm．动点P、Q同时从A点出发

（2007?滨湖区一模）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=20cm，CD=25cm．动点P、Q同时从A点出发：点P以3cm/s的速度沿A?D?C的路线运动，点Q以4cm/s的速度沿A?B?C的路线运动，且P、Q两点同时到达点C．（1）求梯形ABCD的面积；（2）设P、Q两点运动的时间为t（秒），四边形APCQ的面积为S（cm2），试求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；（3）在（2）的条件下，是否存在这样的t，使得四边形APCQ的面积恰为梯形ABCD的面积的25？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）过点D作DE⊥BC于点E，由已知得AD=BE，DE=AB=20cm．
在Rt△DEC中，根据勾股定理得EC=15cm．由题意得

AD+DC

3

=

AB+BE+EC

4

，
∴

AD+25

3

=

20+AD+15

4

．解得AD=5．
∴梯形ABCD的面积=

(AD+BC)×AB

2

=

(5+20)×20

2

=250（cm²）．

（2）当P、Q两点运动的时间为t（秒）时，点P运动的路程为3t（cm），点Q运动的路程为4t（cm）．
①当0＜t≤

5

3

时，P在AD上运动，Q在AB上运动．
此时四边形APCQ的面积S=S_梯形ABCD-S_△BCQ-S_△CDP=70t．
②当

5

3

＜t≤5时，P在DC上运动，Q在AB上运动．
此时四边形APCQ的面积S=S_梯形ABCD-S_△BCQ-S_△ADP=34t+60．
③当5＜t＜10时，P在DC上运动，Q在BC上运动．
此时四边形APCQ的面积S=S_梯形ABCD-S_△ABQ-S_△ADP=-46t+460．

（3）①当0＜t≤

5

3

时，由S=70t=250×

2

5

，解得t=

10

7

．
②当

5

3

＜t≤5时，由S=34t+60=250×

2

5

，解得t=

20

17

．
又∵

5

3

＜t≤5，
∴t=

20

17

不合题意，舍去．
③当5＜t＜10时，由S=-46t+460=250×

2

5

，
解得t=

180

23

．
∴当t=

10

7

或t=

180

23

时，四边形APCQ的面积恰为梯形ABCD的面积的

2

5

．