Question

已知函数f（x）=x2-2ax，g（x）=ax+2（a＞0），对任意的x1∈[-1，2]，总存在x0∈[-1，2]，使g（x1）=f（x

已知函数f（x）=x2-2ax，g（x）=ax+2（a＞0），对任意的x1∈[-1，2]，总存在x0∈[-1，2]，使g（x1）=f（x0），则实数a的取值范围．

Answer 1

由已知条件可知函数g（x）的值域是f（x）值域的子集；
∵a＞0，∴g（x）在[-1，2]上的值域为[g（-1），g（2）]=[-a+2，2a+2]；
函数f（x）=x²-2ax=（x-a）²-a²的对称轴是x=a，又∵a＞0；
∴①0＜a＜

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时，f(x)min＝f(a)＝?a2，f（x）_max=f（2）=4-4a；
∴此时f（x）的值域为[-a²，4-4a]，则：

?a2≤?a+2 4?4a≥2a+2

，解得a≤

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，∴0＜a≤

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；
②

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2

≤a＜2时，f(x)min＝?a2，f(x)max＝f(?1)＝1+2a；
∴此时f（x）的值域为[-a²，1+2a]，则：

?a2≤?a+2 1+2a≥2a+2

，该不等式组无解；
③a≥2时，f（x）在[-1，2]上单调递减；
∴f（x）的值域为[f（2），f（-1）]=[4-4a，1+2a]，同②此时的a不存在；
综上得a的取值范围是(0，

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]．