Question

已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）与x轴的两个交点分别为A（-1，0）、B（3，0），与y

的交点为点D，顶点为C，
（1）写出该抛物线的对称轴方程；
（2）当点C变化，使60°≤∠ACB≤90°时，求出a的取值范围；
（3）作直线CD交x轴于点E，问：在y轴上是否存在点F，使得△CEF是一个等腰直角三角形？若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

(1)x=(-1+3)/2=1
(2)60°时，C（1,-2根3） ，a=根3/2
90°时，C（1，-2） ，a=1/2
(3)因为y=a（x+1）（x-3）=ax2-2ax-3a
所以C（1，-4a）D（0，-3a）
所以CD解析式是，y=-ax-3a
又因为令y=0，所以x=-3
所以E（-3,0）
设F（0，y）
作CH垂直于y轴
因为等腰直角
所以三角形EFO全等于三角形FCH
所以OF=CH y=1
EO=FH 3=y+4a
所以a=1/2

追答

亲，给个好评

追问

谢谢

Answer 2

1》 对称轴为x=1

2> -b/2a=1 b=-2a

a-b+c=0 得 c=-3a

抛物线可化为y=a(x-1)^2-4a

因为角 acb在六十度与90度之间 所以 顶点C纵坐标 -2 =< -4a <= -2√3

所以 a 大于等于1/2 且 小于等于 二分之根号3

3. 根据数形结合 确定

E(-3，0) C(1,-4a)

设 f存在（0，y）

根据几何性质，f只能为 等腰三角形 顶点

取 ce中点 M（-1，-2a）

所以 f 需满足 两个条件 1，MF垂直 CE ,2 MF=EM=CM=1/2 CE

所以 ( y+2a)/(0+1)=1/a 化简 ay+2a^2=1

√(1+（y+2a）^2)=√2^2+(2a)^2 化简 1+Y^2+4a^2+4ay=4+4a^2

联立方程组 我草 化简了半天 得 a^2=1/4 a=1/2 y=1/a-2a=1

综上所述 f点存在 坐标为（0,1）

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解得很辛苦，给点分吧。