Question

已知函数f（x）=4x 2 -4ax+a 2 -2a+2在区间[0，2]上有最小值为g（a），求g（a）的最小值

已知函数f（x）=4x 2 -4ax+a 2 -2a+2在区间[0，2]上有最小值为g（a），求g（a）的最小值．

Answer 1

f(x)=4(x- a 2 ) 2 -2a+2 ① 当 a 2 ≤0即a≤0时，函数f(x)在[0，2]上是增函数 ，∴f（x） min =f（0）=a 2 -2a+2（2分） ②当o＜ a 2 ＜2即0＜a＜4时，f（x） min =f（ a 2 ）=-2a+2（4分） ③当 a 2 ≥2即a≥4时，函数f（x）在[0，2]上是减函数，（6分） ∴f（x） min =f（2）=a 2 -10a+18∴ g(a)= a 2 -2a+2，a≤0 -2a+2 ，&0＜a＜4 a 2 -10a+18，a≥4. （8分） 又当a≤0时，g（a） min =g（0）=2（10分） 当0＜a＜4时，g（a）＞g（4）=-6（12分） 当a≥4时，g（a） min =g（5）=-7（14分） ∴g（a） min =g（5）=-7（16分）