Question

对任意n阶方阵A，证明：A+AT为对称矩阵，A-AT为反对称矩阵，且A可以表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵

对任意n阶方阵A，证明：A+AT为对称矩阵，A-AT为反对称矩阵，且A可以表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵的和．

Answer 1

对称矩阵中的元素关于主对角线对称，故只要存储矩阵中上三角或下三角中的元素，让每两个对称的元素共享一个存储空间。按行优先顺序存储主对角线（包括对角线）以下的元素

即按

 次序存放在一个向量sa[0...n(n+1)/2-1]中（下三角矩阵中，元素总数为n(n+1)/2）。

其中：

sa[0]=a0,0

sa[1]=a1,0

……

sa[n(n+1)/2-1]=an-1,n-1

扩展资料

在线性代数中，对称矩阵是其转置矩阵等于自身的平方矩阵。1855，C. Hermite（1822-191年）证明了其他数学家发现的一些矩阵类的一些特征值的特殊性质，如矩阵矩阵的特征根性质。

随后，clebsch（1831-1872）和a.buchheim证明了对称矩阵的特征值性质。H. Taber介绍了矩阵迹的概念，并给出了一些相关结论。

参考资料来源：百度百科-对称矩阵

Answer 2

证明：∵（A+A^T）^T=A^T+（A^T）^T=A+A^T
∴A+A^T为对称矩阵．
∵（A-A^T）^T=A^T-（A^T）^T=-（A-A^T）
∴A-A^T为反对称矩阵．
又A＝

A+AT

2

+

A?AT

2

而(

A+AT

2

)T＝

AT

2

+

A

2

＝

A+AT

2

，即

A+AT

2

是对称矩阵；
(

A?AT

2

)T＝

AT

2

?

A

2

＝?

A?AT

2

，即

A?AT

2

是反对称矩阵
∴A可以表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵的和．