Question

已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC的中点，AB=4，AD=6，∠PDA=45°（1）求证：MN⊥平面PCD；

已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC的中点，AB=4，AD=6，∠PDA=45°（1）求证：MN⊥平面PCD；（2）求四面体PMND的体积．

Answer 1

（1）证明：取PD的中点E，
∵PA⊥矩形ABCD所在的平面，M、N分别是AB、PC的中点，AB=4，AD=6，
∴NE∥CD，NE=

1

2

CD，
故AM和NE平行且相等，故AMNE为平行四边形，∴MN∥AE．
∵∠PDA=45°，∴AE 是等腰直角三角形斜边上的中线，∴AE⊥PD．
由CD垂直于面PAD可得  CD⊥AE．这样，AE 垂直于平面PCD内的两条相交直线PD和CD，
∴AE⊥平面PCD，∴MN⊥平面PCD．
（2）V_P-MND=V_M-PDN=

1

3

(

1

2

 PD?NE)?MN=

1

3

(

1

2

×6

2

×2)×3

2

=12．