Question

已知函数f（x）=ax+a?1x-lnx-1，其中a＞0．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间和极值；（Ⅱ）若f（x

已知函数f（x）=ax+a?1x-lnx-1，其中a＞0．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间和极值；（Ⅱ）若f（x）≥0对任意x∈[1，+∞）恒成立，求正数a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）当a=1时，f（x）=x-lnx-1，f′(x)＝1?

1

x

＝

x?1

x

，
令f'（x）＞0得x＞1，则函数f（x）的单调增区间为（1，+∞），
令f'（x）＜0得0＜x＜1，则函数f（x）的单调减区间为（0，1），
则函数f（x）的极小值为f（1）=0，无极大值．
（Ⅱ）依题意有：f_min（x）≥0，x∈[1，+∞）
f′(x)＝a?

a?1

x2

?

1

x

＝

ax2?x?(a?1)

x2

＝

(ax+(a?1))(x?1)

x2

=

a(x+ a?1 a )(x?1)

x2

，
①当

1?a

a

≤1即a≥

1

2

时，
f'（x）≥0，x∈[1，+∞），
则f（x）在[1，+∞）单调递增，
则f_min（x）=f（1）=a+a-1-1=2a-2≥0，
解得：a≥1，
②当

1?a

a

＞1即0＜a＜

1

2

时，
函数f（x）在[1，

1?a

a

]单调递减，在[

1?a

a

，+∞)单调递增，
则fmin(x)＝f(

1?a

a

)＜f(1)＝2a?2＜?1＜0，不合题意．
综上所述：正数a的取值范围是[1，+∞）．