Question

已知函数f（x）=sinx+cosx，f′（x）是f（x）的导函数，F（x）=f（x）f′（x）+f2（x）（I）求F（x）的最

已知函数f（x）=sinx+cosx，f′（x）是f（x）的导函数，F（x）=f（x）f′（x）+f2（x）（I）求F（x）的最小正周期及单调区间；（Ⅱ）求函数F（x）在[?π8，π4]上的值域；（Ⅲ）若f（x）=2f′（x），求1+sin2xcos2x?sinxcosx的值．

Answer 1

（I）∵f′（x）=cosx-sinx，
∴F（x）=f（x）f′（x）+f²（x）=cos²x-sin²x+1+2sinxcosx=1+sin2x+cos2x=1+

2

sin（2x+

π

4

），
∴最小正周期为T=

2π

2

=π．
由2x+

π

4

∈[-

π

2

+2kπ，

π

2

+2kπ]，可得单调递增区间：[?

3π

8

+kπ，

π

8

+kπ]，
由2x+

π

4

∈[

π

2

+2kπ，

3π

2

+2kπ]，可得单调递减区间：[

π

8

+kπ，

5π

8

+kπ]，k∈Z；
（Ⅱ）∵x∈[?

π

8

，

π

4

]，
∴2x+

π

4

∈[0，

3π

4

]，
∴sin（2x+

π

4

）∈[0，1]，
∴函数F（x）的值域为[1，1+

2

]，
（III）∵f（x）=2f′（x），
∴sinx+cosx=2cosx-2sinx，
∴cosx=3sinx，∴tanx=

1

3

，
∴

1+sin2x

cos2x?sinxcosx

=

2sin2x+cos2x

cos2x?sinxcosx

=

2tan2x+1

1?tanx

=

2? 2tanx 1?tan2x +1

1?tanx

=

11

6

．