Question

如图1，在平面直角坐标系中有矩形OABC，O是坐标系的原点，A在x轴上，C在y轴上，OA=6，OC=2．（1）分别写

如图1，在平面直角坐标系中有矩形OABC，O是坐标系的原点，A在x轴上，C在y轴上，OA=6，OC=2．（1）分别写出A、B、C三点的坐标；（2）已知直线l经过点P（0，?12）并把矩形OABC的面积平均分为两部分，求直线l的函数表达式；（3）设（2）的直线l与矩形的边OA、BC分别相交于M和N，以线段MN为折痕把四边形MABN翻折（如图2），使A、B两点分别落在坐标平面的A'、B'位置上．求点A'的坐标及过A'、B、C三点的抛物线的函数表达式．

Answer 1

（1）A（6，0）（1分）
B（6，2）（2分）
C（0，2）（3分）


（2）由题意知，l必过矩形OABC的对角线的交点．
连接AC、OB，设交点为Q（如图1）
由矩形性质得Q（3，1）（1分）
把P（0，?

1

2

），Q（3，1）的坐标分别代入y=kx+b
得

b＝? 1 2 3k+b＝1

解得k＝

1

2

，b＝?

1

2

（2分）
∴直线l的函数表达式是y＝

1

2

x?

1

2

；

（3）由题知FM是直线y＝

1

2

x?

1

2

与x轴的交点，
当y=0时，x=1，
∴M（1，0），
∴OM=1，AM=5，由矩形的中心对称性，
得CN=AM=5，BN=OM=1，
过N作NE⊥x轴于E，
则AE=BN=1，ME=AM-AE=5-1=4，
又NE=2，
在Rt△MEN中，MN＝

ME2+NE2

＝

42+22

＝2

5

，
连接AA'交l于F，由轴对称性质得AF⊥l（如图2），即AF⊥MN，AA'=2AF，
又连接AN，在△AMN中，AF?MN=AM?NE，
∴AF＝

AM?NE

MN

＝

5×2

2 5

＝

5

，
∴AA'=2

5

，
过A'作A'D⊥x轴于D，
则△ADA'∽△AFM（一个直角对立相等及一个公共角）
∴

AD

AF

＝

AA′

AM

即

AD

5

＝

2 5

5

，
∴AD=2，OD=6-2①，
在Rt△AA'D中，A′D＝

A′A2?AD2

＝

(2 5 )2?22

＝4②，
∴由①②得A'（4，4）（3分），
把A'（4，4），B（6，2），C（0，2）的坐标分别代入y=ax²+bx+c，
得

16a+4b+c＝4 36a+6b+c＝2 c＝2

，
解得a＝?

1

4

，b＝

3

2

，c=2，
∴过A'、B、C三点的抛物线的函数表达式是y＝?

1

4

x2+

3

2

x+2（4分）．