已知f(x)=√(1+x²),a≠b,求证|f(a)-f(b)|＜|a-b|
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证明:|f(a)-f(b)| <|a-b|
<=>f(a)^2+f(b)^2-2f(a)f(b)<a^2+b^2-2ab
<=>1+a^2+1+b^2-2√[(1+a^2)(1+b^2)]<a^2+b^2-2ab
<=>1+ab<√[(1+a^2)(1+b^2)]
当1+ab<0时,上式成立.
当1+ab≥0时,上式等价于
1+a^2b^2+2ab<(1+a^2)(1+b^2)=1+a^2b^2+a^2+b^2
<=>2ab<a^2+b^2
<=>(a-b)^2>0
因为a≠b,所以上式恒成立.
所以|f(a)-f(b)| <|a-b|
<=>f(a)^2+f(b)^2-2f(a)f(b)<a^2+b^2-2ab
<=>1+a^2+1+b^2-2√[(1+a^2)(1+b^2)]<a^2+b^2-2ab
<=>1+ab<√[(1+a^2)(1+b^2)]
当1+ab<0时,上式成立.
当1+ab≥0时,上式等价于
1+a^2b^2+2ab<(1+a^2)(1+b^2)=1+a^2b^2+a^2+b^2
<=>2ab<a^2+b^2
<=>(a-b)^2>0
因为a≠b,所以上式恒成立.
所以|f(a)-f(b)| <|a-b|
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