Question

弦振动方程的推导

Answer 1

简谐运动Simple harmonic motion﹝原名直译简单和谐运动﹞是最基本也最简单的机械振动。当某物体进行简谐运动时，物体所受的力跟位移成正比，并且总是指向平衡位置。它是一种由自身系统性质决定的周期性运动。（如单摆运动和弹簧振子运动） 回复力

　　回复力的定义：振子受迫使它回复平衡位置的力，是合外力平行于速度方向上的分力。

　　如果用F表示物体受到的回复力，用x表示小球对于平衡位置的位移，根据胡克定律，F和x成正比，它们之间的关系可用下式来表示：

　　F = - kx

　　式中的k是弹簧的劲度系数（回复力系数）；负号的意思是：回复力的方向总跟物体位移的方向相反。
周期与频率

　　一般简谐运动周期：T=2π√（m/k). 其中m为振子质量，k为振动系统的回复力系数。

　　对于单摆运动，其周期T=2π√（L/g） （π为圆周率 √为根号 ） 由此可推出g=(4π^2×L)/(T^2) 据此可利用实验求某地的重力加速度。

　　T与振幅（a<10度）和摆球质量无关。

　　当偏角a<10度时 sina≈a=弧（轨迹）/L（半径）≈x/L；F回=-mg/Lx

　　根据牛顿第二定律，F=ma，运动物体的加速度总跟物体所受的合力的大小成正比，并且跟合力的方向相同。

　　振幅、周期和频率

　　简谐运动的频率(或周期)跟振幅没有关系。

　　物体的振动频率本身的性质决定，所以又叫固有频率。
简谐运动方程

　　一个做匀速圆周运动的物体在一条直径上的投影所做的运动即为简谐运动：R是匀速圆周运动的半径，也是简谐运动的振幅；ω是匀速圆周运动的角速度，也叫做简谐运动的圆频率,ω=√(k/m)；φ是t=0时匀速圆周运动的物体偏离该直径的角度(逆时针为正方向)，叫做简谐运动的初相位。在t时刻，简谐运动的位移x=Rcos(ωt+φ)，简谐运动的速度v=-ωRsin(ωt+φ)，简谐运动的加速度a=-(ω^2)Rcos(ωt+φ),这三个式子叫做简谐运动的方程。

　　这个运动是假设在没有 能量损失引至阻尼的情况而发生。

　　做简谐运动的物体的加速度跟物体偏离平衡位置的位移大小成正比,方向与位移的方向相反,总指向平衡位置.
微分方程解法

　　方程：(d x)*(d x)/(d t*t)+kx/m=0

　　通解：x(t)=c1*cos(kt)+c2*sin(kt)

　　特解：x(t)=x0*cos(kt)+v0/k*sin(kt)

　　令：x0=Asin(sita)

　　结论：Asin(kt+sita)

　　振幅为A，初相为sita，周期为T=2pi/k，角频率为k。

　　其中k为系统的固有频率。
阻尼振动

　　在阻力作用下的简谐运动。

　　

振动过程中受到阻力的振动，振幅逐渐减小，直至振动停止。

　　振动方程：x=Ae^(-nt)sin(wt+sita).
受迫振动

　　在外界驱动力作用下的简谐振动，频率只与驱动力频率有关。

　　驱动力频率越接近固有频率，振幅越大。

　　驱动力频率与固有频率相等时，振幅随时间正比增大，发生共振。

　　受迫振动与共振：

　　（1）受迫振动：振动系统在周期性策动力作用下的振动。稳定时，系统的振动频率等于策动力的频率，跟系统的固有频率无关。

　　（2）共振：当策动力的频率等于系统的固有频率是振幅最大称为共振。