Question

为什么（A的转置乘以A）的秩=A的秩

Answer 1

证明：

用A'表示A的转置，假设AX=0，r(A'A)=r(A)，两边同时乘以A'，可得等式A'AX=0，可得方程组AX=0的解都是方程组A'AX=0的解。

假设A'AX=0，两边同时乘以X'，可得等式X'A'AX=0，即（AX)'AX=0，令Y=AX，则Y'Y=0，注意Y=AX为n维列向量，因此可设Y=(y1,y2,yn)'，则可得Y'Y=y1^2+...+yn^2=0。

因此y1=yn=0，即Y=AX=0，这说明方程组A'AX=0的解都是方程组AX=0的解。

因为AX=0和A'AX=0同解，所以可得r(A'A)=r(A)，即A的转置乘以A）的秩=A的秩。

矩阵性质：

矩阵的转置是矩阵的一种运算，在矩阵的所有运算法则中占有重要地位。矩阵的转置和加减乘除一样，也是一种运算。

将A的所有元素绕着一条从第1行第1列元素出发的右下方45度的射线作镜面反转，即得到A的转置。一个矩阵M, 把它的第一行变成第一列，第二行变成第二列，最末一行变为最末一列， 从而可得到一个新的矩阵N。

Answer 2

证明：

用A'表示A的转置，假设AX=0，r(A'A)=r(A)，两边同时乘以A'，可得等式A'AX=0，可得方程组AX=0的解都是方程组A'AX=0的解。

假设A'AX=0，两边同时乘以X'，可得等式X'A'AX=0，即（AX)'AX=0，令Y=AX，则Y'Y=0，注意Y=AX为n维列向量，因此可设Y=(y1,y2,yn)'，则可得Y'Y=y1^2+...+yn^2=0。

因此y1=yn=0，即Y=AX=0，这说明方程组A'AX=0的解都是方程组AX=0的解。

矩阵的秩

定理：矩阵的行秩，列秩，秩都相等。

定理：初等变换不改变矩阵的秩。

定理：如果A可逆，则r(AB)=r(B),r(BA)=r(B)。

定理：矩阵的乘积的秩Rab<=min{Ra,Rb};

引理：设矩阵A=(aij)sxn的列秩等于A的列数n，则A的列秩，秩都等于n。

Answer 3

用A'表示A的转置，要证明r(A'A)=r(A)，只需证明方程组AX=0和A'AX=0同解。如果AX=0，两边分别左乘A'，得A'AX=0，这说明方程组AX=0的解都是方程组A'AX=0的解；另一方面，如果A'AX=0，两边分别左乘X'，得X'A'AX=0，即(AX)'AX=0，令Y=AX，则Y'Y=0，注意Y=AX为n维列向量，因此可设Y=(y1,y2,,,yn)'，则Y'Y=y1^2+...+yn^2=0，因此y1=...yn=0，即Y=AX=0，这说明方程组A'AX=0的解都是方程组AX=0的解，综上我们证明了AX=0和A'AX=0同解，因此r(A'A)=r(A)。