Question

如图所示，在平面直角坐标系O中xy，已知点A（- ，0），点C（0，3），点B是x轴上一点（位于点A的右侧），

如图所示，在平面直角坐标系O中xy，已知点A（- ，0），点C（0，3），点B是x轴上一点（位于点A的右侧），以AB为直径的圆恰好经过点C。（1）求∠ACB的度数；（2）已知抛物线线y=ax 2 +bx+3过A、B两点，求抛物线的解析式；（3）线段BC上是否存在点D，使△BOD为等腰三角形，若存在，则求出所有符合条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由。

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Answer 1

解：（1） ∵以AB为直径的圆恰好经过点C ， ∴∠ACB=90°，
（2） ∵△AOC∽△ABC， ∴OC 2 =AO·OB， ∵A（- ，0），点C（0，3）， ∴ AO= ，OC=3， ∴ 3 2 = OB， ∴OB=4， ∴B（4，0）， ∴设抛物线的解析式为 把C点坐标代入得 ，解得 ， ∴抛物线的解析式为 ， 即 。
（3） 存在。分两种情况讨论： ①OD=OB， D在OB的中垂线上，过D作DH⊥OB，垂足是H ，则H是OB 中点， DH= OC，OH= OB， ∴D（2， ）； ②BD=BO， 过D作DG⊥OB，垂足是G，则OC=3，OB=BD=4，BC=5，CD=1， ∵DG∥CO， ∴OG∶OB=CD∶CB， 即OG∶4=1∶5， ∴OG= ； DG∶CO=BD∶BC， 即DG∶3=4∶5， ∴DG= ， ∴D（ ， ）， 综上所述，线段BC上存在点D，使△BOD为等腰三角形，点D的坐标为（2， ），（ ， ）。