Question

已知a∈R，函数 f(x)= a x +lnx-1，g(x)=(lnx-1) e x +x （1）判断函数f（x）在（0，e]上的

已知a∈R，函数 f(x)= a x +lnx-1，g(x)=(lnx-1) e x +x （1）判断函数f（x）在（0，e]上的单调性；（2）是否存在实数x 0 ∈（0，+∞），使曲线y=g（x）在点x=x 0 处的切线与y轴垂直？若存在，求出x 0 的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）∵ f(x)= a x +lnx-1 ，（x＞0）， ∴f ′ （x）=- a x 2 + 1 x = x-a x 2 ①若a≤0，则，f ′ （x）＞0，f（x）在（0，e]上单调递增 ②若0＜a＜e，当x∈（0，a）时，f′（x）＜0，函数f（x）在区间（0，a）上单调递减， 当x∈（a，e]时，f′（x）＞0，函数f（x）在区间（a，e]上单调递增 ③若a≥e，则f ′ （x）≤0，函数f（x）在区间（0，e]上单调递减． （2）∵g（x）=（lnx-1）e x +x ∴g′（x）=（ 1 x +1nx-1）e x +1，由（1）易知， 当a=1时，f（x）在（0，+∞）上的最小值：f（x） min =f（1）=0 即x 0 ∈（0，+∞）时， 1 x 0 +ln x 0 -1≥0 ．又 e x 0 ＞0 ， ∴g′（x 0 ）≥1＞0， 曲线y=g（x）在点x=x 0 处的切线与y轴垂直等价于方程g′（x 0 ）=0有实数解． 而g′（x 0 ）＞0，即方程g′（x 0 ）=0无实数解，故不存在．