Question

如图，已知△ABC和△DEC都是等边三角形，B、C、E在同一直线上，连接BD、AE和FG．（1）求证：AE=BD；（2）

如图，已知△ABC和△DEC都是等边三角形，B、C、E在同一直线上，连接BD、AE和FG．（1）求证：AE=BD；（2）求∠AHB的度数；（3）求证：DF=GE．

Answer 1

（1）证明：∵△ABC和△DEC都是等边三角形，
∴CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB+∠ACD=∠ACD+∠DCE，即∠BCD=∠ACE，
∵在△ACE和△BCD中

CA＝CB ∠ACE＝∠BCD CE＝CD

，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴AE=BD；

（2）解：∵△ACE≌△BCD，
∴∠DBC=∠CAE，
∵∠ACB=∠CAE+∠CEA=60°，
∴∠DBC+∠CAE=60°，
∴∠BHE=180°-60°=120°；
（3）证明：∵△ACE≌△BCD，
∴∠BDC=∠CEA，即∠FDC=∠GEC，
∵∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACD=60°，
∴∠FCD=∠GCE，
∵在△DFC和△EGC中

∠FDC＝∠GEC CD＝CE ∠DCF＝∠ECG

，
∴△DFC≌△EGC（ASA），
∴DF=GE．