Question

如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，D分别是AB的中点．（Ⅰ）证明：BC1∥平面A1CD；（Ⅱ）设AA1=AC

如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，D分别是AB的中点．（Ⅰ）证明：BC1∥平面A1CD；（Ⅱ）设AA1=AC=CB=2，AB＝22，求三棱锥D-A1CA的体积．

Answer 1

（Ⅰ）证明：连接AC₁ 交A₁C于点F，则F为AC₁的中点．
∵直棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D，E分别是AB，BB₁的中点，
故DF为三角形ABC₁的中位线，故DF∥BC₁．
由于DF?平面A₁CD，而BC₁不在平面A₁CD中，
故有BC₁∥平面A₁CD．
（Ⅱ）∵AA₁=AC=CB=2，AB=2

2

，
故此直三棱柱的底面ABC为等腰直角三角形．
由D为AB的中点可得CD⊥平面ABB₁A₁，
∴CD=

AC?BC

AB

=

2

．
∵A₁D=

A1A2+AD2

=

6

，
同理，利用勾股定理求得 DE=

3

，A₁E=3．
再由勾股定理可得A1D2+DE2＝A 1E2，∴A₁D⊥DE．
∴S △A 1DE=

1

2

?A₁D?DE=

3 2

2

，
∴V C?A1DE=

1

3

?S △A 1DE?CD＝1．