Question

已知f（x）=3cos2x+2sin（3π2+x）sin（π-x），x∈R（Ⅰ）最小正周期及对称轴方程；（Ⅱ）已知锐角△ABC

已知f（x）=3cos2x+2sin（3π2+x）sin（π-x），x∈R（Ⅰ）最小正周期及对称轴方程；（Ⅱ）已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且f（A）=-3，a=3，求BC边上的高的最大值．

Answer 1

（Ⅰ）f（x）=

3

cos2x+2sin（

3π

2

+x）sin（π-x）=

3

cos2x-2cosxsinx=

3

cos2x-sin2x=2（

3

2

cos2x-

1

2

sin2x）=2cos（2x+

π

6

），
∴T=

2π

2

=π，
令2x+

π

6

=kπ（k∈Z），即x=

kπ

2

-

π

12

（k∈Z），
∴函数f（x）的对称轴方程为x=

kπ

2

-

π

12

（k∈Z），
（Ⅱ）∵f（x）=2cos（2x+

π

6

），
∴f（A）=2cos（2A+

π

6

）=-

3

，即cos（2A+

π

6

）=-

3

2

，
∵0＜A＜

π

2

，
∴

π

6

＜2A+

π

6

＜

7π

6

，
∴2A+

π

6

=

5π

6

，
∴A=

π

3

．
设BC边上的高位h，
则S_△ABC=

1

2

bcsinA=

1

2

a?h，即bc=3h，h=

bc

3

，
∵cosA=

b2+c2?a2

2bc

=

b2+c2?9

2bc

=

1

2

，
∴bc+9=b²+c²，
∵b²+c²≥2bc，当且仅当b=c时，等号成立．
∴bc+9≥2bc，bc≤9，此时b=c，
∵A=

π

3

，
∴b=c=a=3，等号能成立．
∴此时h=

bc

3

=3．
∴h的最大值为3．