Question

已知函数f（x）=（a-12）x2+lnx（a∈R），（1）若?x∈[1，3]，使f（x）＜（x+1）lnx成立，求实数a的取值

已知函数f（x）=（a-12）x2+lnx（a∈R），（1）若?x∈[1，3]，使f（x）＜（x+1）lnx成立，求实数a的取值范围；（2）若函数f（x）的图象在区间（1，+∞）内恒在直线y=2ax下方，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）∵f（x）=（a-

1

2

）x²+lnx（a∈R），
∴f（x）＜（x+1）lnx可化为，
（a-

1

2

）x²+lnx＜（x+1）lnx，
即（a-

1

2

）x²＜xlnx，
∵x∈[1，3]，
∴a-

1

2

＜

lnx

x

，
令h（x）=

lnx

x

，
则h′（x）=

1?lnx

x2

，
由h′（x）=0得，x=e，
当x∈[1，e]时，h′（x）＞0，g（x）单调递增，
当x∈[e，3]时，h′（x）＜0，g（x）单调递减，
∴h（e）=

1

e

，
∴?x∈[1，3]，使f（x）＜（x+1）lnx成立等价于，
a-

1

2

＜h(x)max＝

1

e

，
∴a＜

1

2

+

1

e

∴实数a的取值范围是（-∞，

1

2

+

1

e

）．
（2）在区间（1，+∞）上，函数f（x）的图象在直线y=2ax的下方等价于
对?x∈（1，+∞），f（x）＜2ax．即（a-

1

2

）x²+lnx-2ax＜0恒成立．
设g（x）=（a-

1

2

）x²-2ax+lnx，x∈[1，+∞）．
则g′(x)＝(2a?1)x?2a+

1

x

=(x?1)(2a?1?

1

x

)．
当x∈[1，+∞）时，x-1＞0，0＜

1

x

＜1．
①若2a-1≤0，即a≤

1

2

时，g′（x）＜0，
∴函数g（x）在区间x∈[1，+∞）上为减函数．
∴当?x∈（1，+∞）时，g（x）＜g（1）=a-

1

2

-2a=-

1

2

-a．
只需-

1

2

-a≤0，即当?

1

2

≤a≤

1

2

时，
g（x）=（a-

1

2

）x²-2ax+lnx＜0恒成立．
②若0＜2a-1＜1，即

1

2

＜a＜1时，
令g′(x)＝(x?1)(2a?1?

1

x

)=0
得x=

1

2a?1

＞1．
函数g（x）在区间（1，

1

2a?1

）为减函数，（

1

2a?1

，+∞）为增函数．
则g（x）∈（g（

1

2a?1

），+∞），不合题意．
③若2a-1≥1，即当a≥1时，g′（x）＞0．
函数g（x）为增函数．
则g（x）∈（g（1），+∞），不合题意．
∴实数a的取值范围是[-

1

2

，

1

2

]．