Question

设函数f（x）=|x-2|+|x-a|，x∈R（1）当a=1时，求不等式f（x）≤2的解集．（2）若f（x）≥a在R上恒成立，

设函数f（x）=|x-2|+|x-a|，x∈R（1）当a=1时，求不等式f（x）≤2的解集．（2）若f（x）≥a在R上恒成立，求实数a的最大值．

Answer 1

（1）当a=1时，f（x）=|x-2|+|x-1|，
由x-2=0，得x=2；由x-1=0得x=1．
①当x≥2时，f（x）=x-2+x-1=2x-3≤2，解得2≤x≤

5

2

；
②当1≤x＜2时，f（x）=2-x+x-1=1≤2，成立，故1≤x＜2；
③当x＜1时，f（x）=2-x+1-x=3-2x≤2，解得

1

2

≤x＜1．
综上所述不等式f（x）≤2的解集为{x|

1

2

≤x≤

5

2

}．
（2）|x-2|+|x-a|表示的是在数轴上到2，a两点距离，距离最小值就是|a-2|，
若f（x）≥a对x∈R恒成立，
则只要满足|a-2|≥a，解得a≤1．
∴实数a的最大值是1．