Question

如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx+b（k≠0）分别交双曲线y＝mx(m≠0)于A、B两点，交x轴于点D，在x轴上

如图，在平面直角坐标系中，直线y=kx+b（k≠0）分别交双曲线y＝mx(m≠0)于A、B两点，交x轴于点D，在x轴上有一点C（3，0），且AD=5，CD=4，sin∠ADC＝45，B（-3，n）．（1）求该双曲线y＝mx与直线AB的解析式；（2）连接BC，求△ABC的面积．

Answer 1

（1）∵sin∠ADC＝

4

5

，又∠ADC为锐角，
∴cos∠ADC=

1?cos2∠ADC

=

3

5

，
∴tan∠ADC=

sin∠ADC

cos∠ADC

=

4

3

，
∴斜率k=

4

3

．
∴CD=4，C（3，0），∴D（-1，0），
代入直线AB：0=-k+b，∴b=k=

4

3

．
∴直线AB的方程为：y＝

4

3

x+

4

3

．
把B（-3，n）代入上式可得：n=?3×

4

3

+

4

3

=?

8

3

．
∴B(?3，?

8

3

)．
把B的坐标代入双曲线y＝

m

x

可得：m＝?3×(?

8

3

)=8．
∴双曲线的方程为：y＝

8

x

．
综上可得：该双曲线y＝

8

x

，直线AB的解析式为y＝

4

3

x+

4

3

．
（2）设A(x，

8

x

)（x＞0），
∵AD=5，∴

(x+1)2+( 8 x )2

＝5，解得x=2．
∴A（2，4）．∴S_△ABC=S_△ADC+S_△BCD=

1

2

|DC|?yA+

1

2

|DC|?(?yB)
=

1

2

×4×(4+

8

3

)=

40

3

．