Question

抛物线y=ax^2+bx+1与x轴交于两点A（-1,0），B（1,0），与y轴交于点c .(1)求

抛物线y=ax^2+bx+1与x轴交于两点A（-1,0），B（1,0），与y轴交于点c
.(1)求抛物线的解析式；
（2）过点B作BD‖CA与抛物线交于点D，求四边形ACBD的面积；
（3）在x轴下方的抛物线上是否存在一点M，过M作MN垂直于x轴于点N，使以A，M，N为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，则求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

（1）求解析式就把点代入其中。
可以得到：
(-1)^2·a+(-1)b+1=0
a+b+1=0
解得：
a=-1
b=0
所以解析式为y=-x²+1
（2）令x=0，可以求出C点坐标（0,1）
因为A点坐标（-1,0）
可以求出直线AC解析式为y=x+1
因为BD∥AC，所以直线BD解析式（y=kx+b）的k值和直线AC的解析式的k值相等
所以设BD解析式为y=x+m
代入B点坐标，可得
0=1+m
解得m=-1
所以BD解析式为y=x-1
现在求BD与抛物线的交点
联立方程
y=x-1
y=-x²+1
即x-1=-x²+1
解得x1=1，x2=-2
所以D（-2，-3）
因为B（1,0）C（0,1）
可以求出BC解析式y=-x+1
可以算出∠ACB=∠CBD=90°
所以梯形ACBD面积=（AC+BD）×BC×1/2
=4
（3）设M（t，-t²-1）
则N（t，0）
分两种情况讨论
第一种：M在A左边
此时AN=-1-t
MN=t²+1
因为以A、M、N为顶点的三角形和△BCD相似
且我们知道∠ANM=∠CBD=90°
所以还剩余两种情况
①△ANM∽△CBD
此时AN/NM=CB/BD
所以(-1-t)/(t²+1)=(√2)/(3√2)
所以-3-3t=t²+1
即t²+3t+4=0
方程无解。
所以①情况舍去
②△MNA∽△CBD
此时NM/AN=CB/BD
所以(t²+1)/(-1-t)=(√2)/(3√2)
即3t²+3=-1-t
方程无解
所以②情况舍去
于是第一种情况舍去。
第二种：M在A右边
此时AN=t+1，MN=t²+1
同样分两种情况。
③△ANM∽△CBD
此时AN/NM=CB/BD
所以(1+t)/(t²+1)=(√2)/(3√2)
即3+3t=t²+1
解得t1=（3+√17）/2
t2=（3-√17）/2
因为M在A右边
所以t＞0
所以t=（3+√17）/2
④△MNA∽△CBD
此时NM/AN=CB/BD
所以(t²+1)/(1+t)=(√2)/(3√2)
即3t²+3=t+1
方程无解
所以④情况舍去。
综上所述，M（（3+√17）/2，（-15-3√17）/2）
【√是根号】