Question

已知定义在R上的可导函数y=f（x）的导函数为f′（x），满足f′（x）＜f（x）且y=f（x+1）为偶函数，f（2

已知定义在R上的可导函数y=f（x）的导函数为f′（x），满足f′（x）＜f（x）且y=f（x+1）为偶函数，f（2）=1，则不等式f（x）＜e x 的解集为______．

Answer 1

∵y=f（x+1）为偶函数 ∴y=f（x+1）的图象关于x=0对称 ∴y=f（x）的图象关于x=1对称 ∴f（2）=f（0） 又∵f（2）=1 ∴f（0）=1 设 g(x)= f(x) e x （x∈R），则 g ′ (x)=  f ′ (x) e x -f(x) e x   ( e x ) 2 = f ′ (x)-f(x) e x 又∵f′（x）＜f（x） ∴f ′ （x）-f（x）＜0 ∴g ′ （x）＜0 ∴y=g（x）单调递减 ∵f（x）＜e x ∴ f(x) e x ＜1 即g（x）＜1 又∵ g(0)= f(0) e 0 =1 ∴g（x）＜g（0） ∴x＞0 故答案为：（0，+∞）