Question

已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=4 ，以AC为直径的⊙O交AB于点D，点E是BC的中点，连接OD

已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=4 ，以AC为直径的⊙O交AB于点D，点E是BC的中点，连接OD，OB，DE。 （1）求证：OD⊥DE；（2）求sin∠ABO的值。

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Answer 1

（1）证明：连接CD，则∠ADC=∠BDC=90°， ∵E是BC的中点， ∴DE=BE=EC， ∵OA=OD，DE=BE， ∴∠ADO=∠A，∠DBE=∠BDE， ∵∠DBE+∠A=90°， ∴∠BDE+∠ADO=90°， ∴∠EDO=90°， ∴OD⊥DE； （2）解：过O作OF⊥AD； ∵△AOD是边长为2的等边三角形， ∴OF= ， 在Rt△BOC中，BO= ， ∴sin∠ABO= 。