Question

已知函数f（x）=（log4x-3）?log44x．（1）当x∈[14，16]时，求该函数的值域；（2）令g（x）=f（x）+log4

已知函数f（x）=（log4x-3）?log44x．（1）当x∈[14，16]时，求该函数的值域；（2）令g（x）=f（x）+log4x2-2a?log4x，求g（x）在x∈[42，44]上的最值．

Answer 1

（1）函数f（x）=（log₄x-3）?log₄4x=（log₄x）²-2log₄x-3，
令t=log₄x，x∈[

1

4

，16]?t∈[-1，2]，
此时有y=t²-2t-3，对称轴t=1∈[-1，2]，
当t=1时，取得最小值：-4；t=-1函数取得最大值：0．
∴y∈[-4，0]．…（4分）
（2）g（x）=f（x）+log₄x²-2a?log₄x
=（log₄x）²-2alog₄x-3，令t=log₄x，x∈[4²，4⁴]，则t∈[2，4]，
此时有y=t²-2at-3，
①当a≤2时，y_min=

y|

t＝2

=1-4a；y_max=y|_t=4=13-8a；
②当2＜a≤3时，y_min=

y|

t＝a

=-a²-3；y_max=y|_t=4=13-8a；
③当3＜a＜4时，y_min=

y|

t＝a

=-a²-3；y_max=y|_t=2=1-4a；
④当a≥4时，y_min=

y|

t＝4

=13-8a；y_max=y|_t=2=1-4a；…（12分）