Question

已知，如图，在△ADC中，∠ADC=90°，∠A=60°，以DC为直径作半圆⊙O，交边AC于点F，点B在CD的延长线上，

已知，如图，在△ADC中，∠ADC=90°，∠A=60°，以DC为直径作半圆⊙O，交边AC于点F，点B在CD的延长线上，连接BF，交AD于点E，BF=FC．（1）求证：BF是⊙O的切线；（2）若AE=3，求⊙O的半径．

Answer 1

（1）证明：连接OF，如图，
∵∠ADC=90°，∠A=60°
∴∠C=30°，
∵OC=OF，
∴∠C=∠OFC=30°，
∴∠BOF=∠C+∠OCF=60°，
∵BF=FC，
∴∠B=∠C=30°，
∴∠OFB=180°-∠B-∠BOF=90°，
∴OF⊥BF，
∴BF是⊙O的切线；
（2）解：∵∠AFE=∠B+∠C=60°，∠A=60°，
∴△AEF是等边三角形，
∴EF=AE=

3

，
∵∠ADC=90°，即OD⊥AD，
∴ED与⊙O相切于D，
∴EF=ED=

3

，
∴AD=2

3

，
∴CD=

3

AD=6，
∴⊙O的半径是3．