Question

已知函数f（x）=ax2+4x-2，若对任意x1，x2∈R且x1≠x2，都有f(x1+x22)≤f(x1)+f(x2)2．（Ⅰ）求实数a的取

已知函数f（x）=ax2+4x-2，若对任意x1，x2∈R且x1≠x2，都有f(x1+x22)≤f(x1)+f(x2)2．（Ⅰ）求实数a的取值范围；（Ⅱ）（理）对于给定的非零实数a，求最小的负数M（a），使得x∈[M（a），0]时，-4≤f（x）≤4都成立；（Ⅲ）（理）在（Ⅱ）的条件下，当a为何值时，M（a）最小，并求出M（a）的最小值．（Ⅱ）（文）求最小的实数b，使得x∈[b，1]时，f（x）≥-2都成立；（Ⅲ）（文）若存在实数a，使得x∈[b，1]时，-2≤f（x）≤3b都成立，求实数b的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）∵f(

x1+x2

2

)?

f(x1)+f(x2)

2

=a(

x1+x2

2

)2+b(

x1+x2

2

)+c?

ax12+bx1+c+ax22+bx2+c

2

=?

a

4

(x1?x2)2≤0，
∵x₁≠x₂，
∴a≥0．
∴实数a的取值范围为[0，+∞）．
（Ⅱ）（理）∵f(x)＝ax2+4x?2＝a(x+

2

a

)2?2?

4

a

，
显然f（0）=-2，对称轴x＝?

2

a

＜0．
（1）当?2?

4

a

＜?4，即0＜a＜2时，M(a)∈(?

2

a

，0)，且f[M（a）]=-4．
令ax²+4x-2=-4，解得x＝

?2± 4?2a

a

，
此时M（a）取较大的根，即M(a)＝

?2+ 4?2a

a

＝

?2

4?2a +2

，
（2）当?2