Question

如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，弦CD⊥AB于点E，OE：EA=1：2，PA=6，∠POC=∠PCE．（1）求证：

如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，弦CD⊥AB于点E，OE：EA=1：2，PA=6，∠POC=∠PCE．（1）求证：PC是⊙O的切线；（2）求⊙O的半径；（3）求sin∠PCA的值．

Answer 1

（1）证明：∵弦CD⊥AB于点E，
∴在Rt△COE中∠COE+∠OCE=90°，
∵∠POC=∠PCE，
∴∠PCE+∠OCE=90°，即PC⊥OC，
∴PC是⊙O的切线；

（2）∵OE：EA=1：2，PA=6，
∴可设OE=k，EA=2k，则半径r=3k，
在Rt△COP中，
∵CE⊥PO垂足为E，
∴△COE∽△POC，
∴CO²=OE?OP即（3k）²=k?（3k+6），
解得k=0（舍去）或k=1，
∴半径r=3；

（3）过A作AH⊥PC，垂足为H，
∵PC⊥OC∴AH∥OC，
∴

AH

OC

＝

AP

PO

，即

AH

3

＝

6

9

，解得AH=2，
在Rt△COE中，由OC=3，OE=1，解得CE=2

2

，
在Rt△ACE中，由CE=2

2

，AE=2，解得AC=2

3

，
在Rt△ACH中，由AC=2

3

，AH=2，
∴sin∠PCA=

AH

AC

=

2

2 3

=

3

3

．