Question

（2012?金华模拟）如图，A是抛物线x2=4y上异于原点的任意一点，F为抛物线的焦点，l为抛物线在A点处的切线

（2012?金华模拟）如图，A是抛物线x2=4y上异于原点的任意一点，F为抛物线的焦点，l为抛物线在A点处的切线，点B、C在抛物线上，AB⊥l且交y轴于M，点A、F、C三点共线，直线BC交y轴于N．（1）求证：|AF|=|MF|；（2）求|MN|的最小值．

Answer 1

（1）证明：设A（x₀，y₀），B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
∵x²=4y，∴y＝

1

4

x2，∴y′=

1

2

x
∴直线l的斜率k₁=

x0

2

∵AB⊥l，∴k_AB=-

2

x0

∴直线AB的方程为y?y0＝?

2

x0

(x?x0)
令x=0，则y=y₀+2，∴M（0，y₀+2）
∵F（0，1），∴|MF|=y₀+1
由抛物线的定义可得|AF|=y₀+1，
∴|AF|=|MF|；
（2）解：直线AB的方程代入抛物线方程，消去y可得

1

4

x2+

2

x0

x-2-y₀=0
∴x1+x0＝?

8

x0

，∴x1＝?x0?

8

x0

设直线AC：y=kx+1代入抛物线方程，消去y可得x²-4kx-4=0，∴x₀x₂=-4，∴x₂=?

4

x0

∴k_BC=

y1?y2

x1?x2

＝

x1+x2

4

=?

x0

4

?

3

x0

∴直线BC的方程为y?y2＝(?

x0

4

?

3

x0

)(x?x2)
令x=0得y＝(

x0

4

+

3

x0

)x

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