Question

已知一直线l与椭圆x28+y24＝1相交于A、B两点，且弦AB的中点为P（2，1）．（I）求直线l的方程；（II）求|A

已知一直线l与椭圆x28+y24＝1相交于A、B两点，且弦AB的中点为P（2，1）．（I）求直线l的方程；（II）求|AB|的长．

Answer 1

（I）若斜率不存在，则由椭圆的对称性及弦AB的中点为P（2，1），知不成立
若斜率存在，设斜率为k则直线的方程为：y-1=k（x-2），∴y=kx+1-2k，
代入椭圆方程得：x²-2（kx+1）-2k²=8，
整理得：（1+2k²）x²+4k（1-2k）x+2（1-2k）²-8=0，①
设A(x1，y2)，B(x2，y2)，则x1+x2＝

4k(2k?1)

2k2+1

＝4，
解得：k=-1，即1的方程为：x+y-3=0
（注：也可用点差法求解）
（II）当k=-1时，方程①为：3x²-12x+10=0，
∴x1+x2＝4，x1x2＝

10

3

．
∴|AB|＝

2

16?4× 10 3

＝

4

3

3

；