Question

已知函数f（x）=lnx-a（x-1），（a＞0）（1）求函数f（x）的单调区间和极值；（2）若函数f（x）在（1，+

已知函数f（x）=lnx-a（x-1），（a＞0）（1）求函数f（x）的单调区间和极值；（2）若函数f（x）在（1，+∞）是单调减函数，求实数a的取值范围；（3）在（2）的条件下，当n∈N+时，证明：（1+12）（1+122+）（1+123）…（1+12n）＜e．其中（e≈2.718…即自然对数的底数）

Answer 1

（1）f（x）定义域为（0，+∞）…（1分）
求导数，得f′ (x)＝

1

x

?a＝

1?ax

x

…（2分）
令f’ (x)＝0，x1＝0，x2＝

1

a

当0＜x＜

1

a

时，f′（x）＞0；当x＞

1

a

时，f′（x）＜0…（3分）
∴f（x）的单调增区间为(0，

1

a

)，f（x）的单调减区间为(

1

a

，+∞)，…（4分）
因此，f（x）的极大值为f(

1

a

)＝?lna?1+a，无极小值…（5分）
（2）∵函数f（x）在（1，+∞）是单调减函数，
∴f′ (x)＝

1

x

?a≤0在区间（1，+∞）上恒成立．（7分）
∵x＞1，可得0＜

1

x

＜1
∴a≥1，即实数a的取值范围为[1，+∞）…（9分）
（3）由（2）得当a=1时，f（x）在（1，+∞）上单调递减，

∴f(x)＝lnx?(x?1)＜f(1)＝0

，可得

lnx＜x?1，(x＞1)

…（10分）
令x=1+

1

2n

，可得ln（1+

1

2n

）＜

1

2n

…（11分）
分别取n=1，2，3，…，n得
ln（1+

1

2

）+ln（1+

1

22

）+ln（1+

1

23

）+…+ln（1+

1

2n

）＜

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

=1-

1

2n

＜1…（13分）
即ln[（1+

1

2

）（1+

1

22

）（1+

1

23

）…（1+

1

2n

）]＜lne
可得（1+

1

2

）（1+

1

22

+）（1+

1

23

）…（1+

1

2n

）＜e，对任意的n∈N^*成立．