Question

（1）判断函数f（x）= 2x-1 x-1 在区间（1，+∞）上的单调性，并用定义法给出证明；（2）判断

（1）判断函数f（x）= 2x-1 x-1 在区间（1，+∞）上的单调性，并用定义法给出证明；（2）判断函数g（x）= x 3 + 1 x 的奇偶性，并用定义法给出证明．

Answer 1

（1）函数在区间（1，+∞）上是单调递减函数． 证明：对任意的1＜x 1 ＜x 2 ，则 f( x 1 )-f( x 2 )= 2 x 1 -1 x 1 -1 - 2 x 2 -1 x 2 -1 = x 2 - x 1 ( x 1 -1)( x 2 -1) ， ∵1＜x 1 ＜x 2 ， ∴x 1 -1＞0，x 2 -1＞0，x 2 -x 1 ＞0， ∴f（x 1 ）-f（x 2 ）＞0，即f（x 1 ）＞f（x 2 ）， ∴函数在区间（1，+∞）上是单调递减函数． （2）函数g（x）= x 3 + 1 x 是奇函数． 证明：函数g（x）= x 3 + 1 x 的定义域为{x|x≠0}，定义域关于原点对称． ∵ g(-x)= (-x) 3 + 1 -x =- x 3 - 1 x =-( x 3 + 1 x )=-g(x) ， ∴函数g（x）= x 3 + 1 x 是奇函数．