Question

（Ⅰ）设f（x）在（0，+∞）内可导，且limx→0+f（x）=limx→+∞f（x），证明：存在一点ξ＞0使f′（ξ）

（Ⅰ）设f（x）在（0，+∞）内可导，且limx→0+f（x）=limx→+∞f（x），证明：存在一点ξ＞0使f′（ξ）=0．（Ⅱ）设f（x）在（0，+∞）可导，且对x＞0皆有0≤f（x）≤x1+x2，证明：存在c＞0，使f′（c）=1?c2(1+c2)2．

Answer 1

（II）设

lim

x→0+

f(x)=

lim

x→+∞

f(x)=B，
令F（t）=

B， t＝0， π 2 f(tant)， 0＜t＜ π 2

．
则F（x）在[0，

π

2

]上连续，在(0，

π

2

)内可导，且F（0）=F(

π

2

)=B．
由罗尔定理可得，?η∈(0，

π

2

)，使得F′（η）=0，
即：f′（tanη）?sec²η=0．
注意到secη≠0，故f′（tanη）=0．
取ξ=tanη＞0，则有f′（ξ）=0．
（II）令F（x）=f（x）-

x

1+x2

．
因为0≤x≤

x

1+x2

，?x＞0，
且

lim

x→0+

x

1+x2

=

lim

x→+∞

x

1+x2

=0，
故利用夹逼定理可得，

lim

x→0+

f(x)=0，

lim

x→+∞

f(x)=0，
从而

lim

x→0+

F(x)=

lim

x→0+

(f(x)?

x

1+x2

)=0，

lim

x→+∞

F(x)=