Question

（2014?合肥模拟）如图，△ABC中，AB＞AC，AD是中线，AE是角平分线，CF⊥AE于F，连接DF，给出以下结论：

（2014?合肥模拟）如图，△ABC中，AB＞AC，AD是中线，AE是角平分线，CF⊥AE于F，连接DF，给出以下结论：①DF∥AB；②∠DAE=12（∠ACB-∠ABC）；③DF=12（AB-AC）；④12（AB-AC）＜AD＜12（AB+AC）．其中正确的是______（把所有正确判断的序号都填在横线上）．

Answer 1

延长CF交AB于点G，
∵AE平分∠BAC，
∴∠GAF=∠CAF，
∵AF垂直CG，
∴∠AFG=∠AFC，
在△AFG和△AFC中，
∵

∠GAF＝∠CAF AF＝AF ∠AFG＝∠AFC

，
∴△AFG≌△AFC（ASA），
∴AC=AG，GF=CF，
又∵点D是BC中点，
∴DF是△CBG的中位线，
∴DF∥AB，
故①正确；
∵DF是△CBG的中位线，
∴DF=

1

2

BG=

1

2

（AB-AG）=

1

2

（AB-AC），
故③正确；
延长AD到M使AD=DM，
在△ADC和△MDB中

AD＝DM ∠ADC＝∠MDB DB＝CD

，
∴△ADC≌△MDB（SAS），
∴BM=AC，
∵AB-BM＜AM＜AB+BM，
∴AB-AC＜AM＜AB+AC，
∴

1

2

（AB-AC）＜AD＜

1

2

（AB+AC）．
故④正确，
故答案为：①③④．