Question

如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，顶点O在原点（如

如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形OABC的两顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，顶点O在原点（如图1）．现将正方形OABC绕O点顺时针旋转一定角度，当A点第一次落在直线y=x上时停止旋转．旋转过程中，AB边交直线y=x于点M，BC边交x轴于点N．（1）当点A第一次落在直线y=x上时停止旋转，此时图形旋转了______度；（2）旋转过程中，当MN和AC平行时（如图2），求旋转角∠NOC的度数；（3）设△MBN的周长为P，在旋转正方形OABC的过程中（如图3），P值是否变化？请判断并证明你的结论．

Answer 1

（1）∵A点第一次落在直线y=x上时停止旋转，直线y=x与y轴的夹角是45°，
∴OA旋转了45°．
故答案为：45；
（2）∵MN∥AC，
∴∠BMN=∠BAC=45°，∠BNM=∠BCA=45°．
∴∠BMN=∠BNM．
∴BM=BN．
又∵BA=BC，
∴AM=CN．
又∵OA=OC，∠OAM=∠OCN，
在△OAM和△OCN中，

OA＝OC ∠OAM＝∠OCN AM＝AN

．
∴△OAM≌△OCN（SAS）．
∴∠AOM=∠CON=

1

2

（∠AOC-∠MON）=（90°-45°）=2

1

2

2.5°．
∴旋转过程中，当MN和AC平行时，正方形OABC旋转的度数为∠NOC=45°-22.5°=22.5°．

（3）在旋转正方形OABC的过程中，P值无变化．
证明：延长BA交y轴于E点，
则∠AOE=45°-∠AOM，∠CON=90°-45°-∠AOM=45°-∠AOM，
∴∠AOE=∠CON．
又∵OA=OC，∠OAE=180°-90°=90°=∠OCN．
在△OAE和△OCN中，

∠AOE＝∠CON OA＝OC ∠EAO＝∠NCO＝90°

．
∴△OAE≌△OCN（ASA）．
∴OE=ON，AE=CN．
在△OME和△OMN中

OE＝ON ∠EOM＝∠NOM＝45° OM＝OM

．
∴△OME≌△OMN（SAS）．
∴MN=ME=AM+AE．
∴MN=AM+CN，
∴P=MN+BN+BM=AM+CN+BN+BM=AB+BC=4．
∴在旋转正方形OABC的过程中，P值无变化．