Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在AB上，以BD为直径的⊙O交AC于E，连DE、BE，BE平分∠ABC．（1）求证：

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D在AB上，以BD为直径的⊙O交AC于E，连DE、BE，BE平分∠ABC．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）求证：AE2=AD?AB；（3）若AD＝6，AE＝62，求BC的长．

Answer 1

（1）证明：连接OE，
∵BE平分∠ABC交AC于点E，
∴∠1=∠EBC，
∵∠C=90°，BD为⊙O的直径，
∴∠DEB=90°，
∴∠5=∠3，
∵∠4=∠5，
∴∠3=∠4，
∴∠2+∠3=90°，
∴AC是△BDE的外接圆的切线；

（2）证明：∵AC是△BDE的外接圆的切线，
∴∠AEO=90°，
∴∠AED+∠4=90°，
∵BD为⊙O的直径，
∴∠DEB=90°，
∴∠1+∠5=90°，
∵∠4=∠5，
∴∠AED=∠1，
∵∠A=∠A，
∴△AED∽△ADB，
∴

AE

AB

＝

AD

AE

，
∴AE²=AD?AB；

（3）解：由（2）知AE²=AD?AB，
∵AD＝6，AE＝6

2

，
∴AB=12，
∴BD=6，
∵△AED∽△ABE，
∴

AE

AB

＝

DE

BE

=

6

12

=

1

2

，
∴BE=

12 5

5

，
∵BE平分∠ABC交AC于点E，
∴∠1=∠EBC，
∵∠C=90°，
又∵BD为⊙O的直径，
∴∠DEB=90°，
∴△DBE∽△EBC，
∴

BC

BE

＝

BE

BD

，
即：

BC

12 5 5

＝ 

12 5

5 6

∴BC=

24

5

．