Question

已知函数f（x）的图象关于点（a，b）对称，则有f（x）+f（2a-x）=2b对任意定义域内的x均成立．（1）若函

已知函数f（x）的图象关于点（a，b）对称，则有f（x）+f（2a-x）=2b对任意定义域内的x均成立．（1）若函数f(x)＝x2+mx+mx的图象关于点（0，1）对称，求实数m的值；（2）已知函数g（x）=-x2+nx+1（x＞0）在（1）的条件下，若对实数x＞0及t＞0时恒有不等式g（x）＜f（t）成立，求实数n的取值范围．

Answer 1

（1）由题设，∵函数f(x)＝

x2+mx+m

x

的图象关于点（0，1）对称，
∴f（x）+f（-x）=2，
∴

x2+mx+m

x

+

x2?mx+m

?x

=2，
∴m=1；
（2）由（1）得f（t）=t+

1

t

+1（t＞0），
当t＞0时，t+

1

t

+1≥2

t? 1 t

+1=3，当且仅当t=1时取等号，
∴其最小值为f（1）=3，
g（x）=-x²+nx+1=-(x?

n

2

)2+1+

n2

4

，
①当

n

2

≤0，即n≤0时，g（x）_max＜1＜3，∴n∈（-∞，0]，
②当

n

2

＞0，即n＞0时，g（x）_max=1+

n2

4

＜3，∴n∈（0，2

2

），
由①②得n∈（-∞，2

2

）．