如图，AB是⊙O的直径，C是BD的中点，CE⊥AB，垂足为E，BD交CE于点F．（1）求证：CF=BF；（2）若AD=2，⊙O
如图，AB是⊙O的直径，C是BD的中点，CE⊥AB，垂足为E，BD交CE于点F．（1）求证：CF=BF；（2）若AD=2，⊙O的半径为4，求BC的长．...
如图，AB是⊙O的直径，C是BD的中点，CE⊥AB，垂足为E，BD交CE于点F．（1）求证：CF=BF；（2）若AD=2，⊙O的半径为4，求BC的长．
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解答：（1）证明：延长CE交⊙O于点M，
∵AB是⊙O的直径，CE⊥AB，
∴
=
，
∵C是
的中点，
∴
=
，
∴
=
，
∴∠BCM=∠CBD，
∴CF=BF；
（2）解：连接AC，
∵AB是⊙O的直径，CE⊥AB，
∴∠BEF=∠ADB=90°，
∵∠ABD=∠FBE，
∴Rt△ADB∽Rt△FEB，
∴
＝
，
∵AD=2，⊙O的半径为4，
∴AB=8，
∴
＝
，
∴BF=4EF，
又∵BF=CF，
∴CF=4EF，
利用勾股定理得：BE=
=
EF，
又∵∠ACB=∠CEB=90°，∠ABC=∠CBE，
∴△EBC∽△ECA，
∴
＝
，
∴CE2=AE?BE，
∴（CF+EF）2=（8-BE）?BE，
∴25EF2=（8-
EF）?
EF，
∴EF=
，
∴BC=
=2
．
∵AB是⊙O的直径，CE⊥AB，
∴
 |
| BC |
|
| BM |
∵C是
|
| BD |
∴
|
| BC |
|
| CD |
∴
|
| CD |
|
| BM |
∴∠BCM=∠CBD，
∴CF=BF；
（2）解：连接AC，∵AB是⊙O的直径，CE⊥AB，
∴∠BEF=∠ADB=90°，
∵∠ABD=∠FBE，
∴Rt△ADB∽Rt△FEB，
∴
| AD |
| EF |
| AB |
| BF |
∵AD=2，⊙O的半径为4，
∴AB=8，
∴
| 2 |
| EF |
| 8 |
| BF |
∴BF=4EF，
又∵BF=CF，
∴CF=4EF，
利用勾股定理得：BE=
| BF2?EF2 |
| 15 |
又∵∠ACB=∠CEB=90°，∠ABC=∠CBE，
∴△EBC∽△ECA，
∴
| CE |
| AE |
| BE |
| CE |
∴CE2=AE?BE，
∴（CF+EF）2=（8-BE）?BE，
∴25EF2=（8-
| 15 |
| 15 |
∴EF=
| ||
| 5 |
∴BC=
| BE2+CE2 |
| 6 |
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