Question

（2014?无锡新区二模）如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，E为BC边的中点，连接DE

（2014?无锡新区二模）如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，E为BC边的中点，连接DE．（1）求证：DE与⊙O相切．（2）若tanC=52，DE=2，求AD的长．

Answer 1

解答：（1）证明：连接DO，DB，
∴OD=OB，
∴∠ODB=∠OBD．
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠CDB=90°．
∵E为BC的中点，
∴DE=BE，
∴∠EDB=∠EBD，
∴∠ODB+∠EDB=∠OBD+∠EBD，
即∠EDO=∠EBO．
∵∠ABC=90°，
∴∠EDO=90°．
∴OD⊥ED于点D．
又∵OD是半径，
∴DE为⊙O的切线．

（2）解：∵∠BDC=90°，点E为BC的中点，
∴DE=

1

2

BC．
∵DE=2，
∴BC=4．
在直角△ABC中，tanC=

AB

BC

，
∴AB=BC×

5

2

=2

5

．
在直角△ABC中，由勾股定理得到AC=6．
又∵△ABD∽△ACB，
∴

AD

AB

=

AB

AC

，即

AD

2 5

=

2 5

6

，
∴AD=

10

3

．