Question

已知椭圆C：x2a2+y2＝1(a＞1)的右焦点为F（c，0）（c＞1），点P在圆O：x2+y2=1上任意一点（点P第一象限内

已知椭圆C：x2a2+y2＝1(a＞1)的右焦点为F（c，0）（c＞1），点P在圆O：x2+y2=1上任意一点（点P第一象限内），过点P作圆O的切线交椭圆C于两点Q、R．（1）证明：|PQ|+|FQ|=a；（2）若椭圆离心率为32，求线段QR长度的最大值．

Answer 1

解答：（1）证明：设Q（x₁，y₁）（x₁＞0），得|FQ|=a-ex₁，…（3分）
∵PQ是圆x²+y²=1的切线，∴|PQ|＝

|OQ|2?|OP|2

＝

x 2 1 + y 2 1 ?1

，
∵

x12

a2

+y12＝1，∴|PQ|＝

x 2 1 +(1? x 2 1 a2 )?1

＝

(1? 1 a2 ) x 2 1

＝ex1，…（6分）
所以|PQ|+|FQ|=a．                                  …（7分）
（2）解：由题意，e＝

a2?1

a

＝

3

2

，∴a=2．                …（9分）
方法一：设直线QR的方程为y=kx+m，∵点P在第一象限，∴k＜0，m＞0．
由直线QR与圆O相切，∴

|m|

k2+1

＝1，∴m²=k²+1．        …（11分）
由

y＝kx+m x2 4 +y2＝1

，消y得（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0，
设R（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则x1+x2＝?

8km

1+4k2

．
由（1）知，|QR|＝e(x1+x2)＝

3

2

(?

8km

1+4k2

)＝4

3

?

|k|m

1+4k2

＝4

3

?

|k|m

m2+3k2

，…（14分）
∵m2+3k2≥2

3

m|k|，∴|QR|≤4

3

?

1

2 3

＝2．
当且仅当