Question

如图所示三角形纸片ABC中∠C=90°∠A=30° AB=10将纸片折叠使B落在AC边上的点D处

折痕与BC AB分别交于点E F
（1）设BE=x DC=y 求y关于x的函数关系式，并确定自变量x的取值范围
（2）当△ADF是直角三角形时，求BE的长
（3）当△ADF是等腰三角形时，求BE的长

Answer 1

⑴在RTΔABC中，∠A=30°，AB=10，。
∴BC=1/2AB=5，
由折叠知：DE=BE=X，
∴CE=(5-X)，
在RTΔCDE中，根据勾股定理：
(5-X)^2+Y^2=X^2，
Y^2=10X-25，
Y=√(10X-25)，(2.5≤X≤5)。
⑵①∠ADF=90°，DF∥BC，DF=1/2AF，BF=DF，
∴DF=1/3AB=10/3，∴CD=1/3AC=5√3/3，
25/3=10X-25，X=10/3，
②∠AFD=90°，DF/AF=tanA，AF=√3DF，10-DF=√3DF，DF=5(√3-1)，
AD=2DF=10(√3-1)，CD=5√3-AD=10-5√3，
100-100√3+75=10X-25，X=20-10√3。
⑶①DF=AD，∠AFD=∠A=30°，
过D作DH⊥AF于H，DF=AD=2DH，AH=√3DH，
∴AF=2AH=2√3DH，
∴2√3DH+2DH=10，DH=5/(√3+1)=5(√3-1)/2，
∴CD=AC-2DH=5√3-5√3+5=5，
25=10X-25，X=5，
②AD=AF，∠ADF=75°，
∴∠CDE=45°，ΔCDE是等腰直角三角形，
X=√2(5-X)，
X=5(2-√2)。