Question

高三数学，详细过程谢谢

Answer 1

f(x)=alnx-(x-1)/(x+1)
(1)f'(x)=a/x-2/(x+1)²=[ax²+(2a-2)x+1]/x(x+1)²
x∈(0,1),为增函数，f'(x)恒大于0
∵x(x+1)²>0
∴ax²+(2a-2)x+1>0
令h(x)=ax²+(2a-2)x+1
∵h(1/2)=[a+4(a-1)+4]/4=5a/4
∴a>0
h(x)对称轴：x=1-1/a，零点=(1-a±√1-2a)/a
当a>1/2 Δ<0,无零点，h(x)恒大于0，f'(x)恒大于0，满足要求。
a=1/2,Δ=0,有一个零点，除零点外，h(x)恒大于0，x0=(1-a)/a=1 不在区间内，满足要求。
当0<a<1/2，x=1-1/a<0, 只有当右零点≤0时，x>0,h(x)恒大于0，方满足要求：
即(1-a+√1-2a)/a≤0
∵1-a>1/2
∴1-a+√1-2a>0,无解。
综上：a的取值范围：a≥1/2
(2)
g(x)=e^x
g'(x)=e^x
g'(b)=e^b,g'(-b)=e^-b
∴l1:y-e^b=e^b(x-b)→y=e^b·x+(1-b)e^b
l2:y-e^-b=e^-b(x+b)→y=e^-b·x+(1+b)e^-b
∴x₀=[(1+b)e^-b-(1-b)e^b]/(e^b-e^-b)
令h(b)=[(1+b)e^-b-(1-b)e^b]/(e^b-e^-b)
lim(b→0)[(1+b)e^-b-(1-b)e^b]/(e^b-e^-b) 洛必达法则
=lim(b→0)[e^-b-(1+b)e^-b+e^b-(1-b) e^b]/(e^b+e^-b)=0
h'(b)={[e^-b-(1+b)e^-b+e^b-(1-b) e^b] (e^b-e^-b)-[(1+b)e^-b-(1-b)e^b](e^b+e^-b)}/(e^b-e^-b)²
={[(-be^-b+be^b)(e^b-e^-b)-[(1+b)e^-b-(1-b)e^b](e^b+e^-b)}/(e^b-e^-b)²
=(-4b+e^-2b+e^2b)/(e^b-e^-b)²
∵e^-2b>0
∴-4b+e^-2b+e^2b>e^2b-4b
再令j(x)=e^2b-4b
j'(x)=2e^2b-4
j''(x)=4e^2b>0
∴j'(x)=0,j(x)取得最小值
x=1/2ln2
j(1/2ln2)>0
∴-4b+e^-2b+e^2b>0
∴h'(b)恒大于0，h(b)单调递增
∴h(b)>h(0)>0