Question

如图1所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为边BC上任意一点，以直线AD为对称轴,求第三问证明过程

如图1所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为边BC上任意一点，以直线AD为对称轴，作Rt△ABC的轴对称图形Rt△AEF，点M、点N、点P、点Q分别为AB、B C、EF、EA的中点． (1)求证：MN=PQ； (2)如图2，当BD=时，判断点M、点N、点P、点Q围成的四边形的形状，并说明理由； (3)若BC=6，请你直接写出点M、点N、点P、点Q围成的图形共有哪些形状及对应的BD的取值范围．

Answer 1

解：(1)∵M，N为AB、BC中点,
∴MN= 1/2AC，
同理可得：PQ= 1/2AF= 1/2AC=MN，

∴PQ=MN，
(2)解：四边形PNQM为矩形，
连结BE
∵P、N关于AD对称
∴PN⊥AD，
同理可得：MQ⊥AD BE⊥AD，
∴PN//MQ//BE，
∴可证△BED∽△PND，
△ABE∽△AMQ，
∴PN：BE=BD:DN，
∵N为BC中点，D为BC三等分点，
∴可得，PN:BE=BD:DN=1:0.5=2:1，
∵MQ:BE=AQ:AE=1:2=PN:BE，
∴MQ=PN，
∵MQ∥PN，
∴四边形MQNP为平行四边形，
∵由(1)得，PQ=MN，
∴四边形MQNP是矩形；

(3)通过上面的计算，

∵BC=6，当BD= 1/3BC=2，

∴四边形MQNP是矩形，

∵PN//MQ//BE，，PQ=MN，

∴当0＜BD＜2，2＜BD＜6时，四边形MQNP是梯形，

综上所述：当BD=2，四边形MQNP是矩形；当0＜BD＜2，2＜BD＜6时，四边形MQNP是梯形.