Question

大一线性代数题。。

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Answer 1

η1,η2.ηk 是基础解系.所以η1,η2.ηk线性无关.
（η0,η1+η0,η2+η0.ηk+η0）=（η0,η1,η2.ηk ）
所以证明（η0,η1+η0,η2+η0.ηk+η0）无关也就是证明（η0,η1,η2.ηk ）无关,
我们知道,如果a1,a2.an无关,而a1,a2.an,β相关,则β可以由a1,a2.an表示,且表示法唯一.
反证法：设（η0,η1,η2.ηk ）相关,又因为η1,η2.ηk线性无关.则η0可以由
η1,η2.ηk线性表示,且表示法唯一.
显然,其次方程组Ax=0的基础解系,不一定能表示非其次方程组Ax=b的特解.所以矛盾.
（假设非其次方程组一个特解为b,其次方程组通解为k1a1+k2a2,则非其次方程组的通解为
k1a1+k2a2+b,如果b可以被a1,a2表示,则通解可以化为k1a1+k2a2+k3a1+k4a1=(k1+k3)a1+(k2+k4)a2,这其实是其次方程组Ax=0的解,而不是非其次方程组Ax=b的解）
则（η0,η1,η2.ηk ）无关,则（η0,η1+η0,η2+η0.ηk+η0）无关.

Answer 2

【分析】
逆矩阵定义：若n阶矩阵A，B满足AB=BA=E，则称A可逆，A的逆矩阵为B。

【解答】
A³-A²+3A=0，
A²(E-A)+3(E-A)=3E，
(A²+3)(E-A) = 3E
E-A满足可逆定义，它的逆矩阵为(A²+3)/3

【评注】
定理：若A为n阶矩阵，有AB=E，那么一定有BA=E。

所以当我们有AB=E时，就可以直接利用逆矩阵定义。而不需要再判定BA=E。
对于这种抽象型矩阵，可以考虑用定义来求解。
如果是具体型矩阵，就可以用初等变换来求解。

线性代数包括行列式、矩阵、线性方程组、向量空间与线性变换、特征值和特征向量、矩阵的对角化，二次型及应用问题等内容。