Question

设V是复数域上n维线性空间,线性变换σ在基ε1，ε2，…，εn下的矩阵是一个若尔当块

证明：（1）V中包含εn的σ的不变子空间只有V本身；
（2）V中任何非零的σ的不变子空间都包含ε1；
（3）V不能分解成两个非平凡的σ的不变子空间的直和。

Answer 1

1.设W是包含εn的σ的不变子空间，而σ{ε1，ε2，…，εn}=&{ε1，ε2，…，εn}，由不变子空间定义知，εn 1 &εn∈W，所以εn 1∈W，同理知εn，…，ε2，ε1∈W，所以W=L{ε1，ε2，…，εn}=V
2.V中任何非零的σ不变子空间至少包含ε1，ε2，…，εn中一个，假设包含εi，由1知，该空间包含所有的εj，j≤i，显然，{1}∈{j}，所以V中任何非零的σ不变子空间都包含ε1
3.设V中有两个非平凡的不变子空间W1与W2，由2知，ε1∈W1且ε1∈W2，W1∩W2≠∅，所以V不能分解成两个非平凡的σ的不变子空间的直和。

Answer 2

首先声明，由于不同教材Jordan块的定义不同，有上Jordan块和下Jordan块，你这个题目如果结论成立，那么Jordan块必须是1在下的下Jordan块——
（1）σ(下面用f代替)把基底e1,e2,...,en(我就改一下符号了)映射为ke1,e1+ke2,e2+ke3,....,en-2+ken-1,en-1+ken,于是如果不变子空间包含en，则必须包含en的像en-1+ken，那么就必须包含en-1，同理递推，就必须包含en-2,en-3,...,e1，于是V的f-不变子空间只有V本身——包含所有的ei；
（2）根据上述方法，只要不变子空间包含ek，则必须包含ei,i<k，于是就必须包含e1;
（3）假设V=V1+V2，'+'表示直和，由于V1，V2非平凡，则V1,V2至少包含e1，所以V1与V2的交集总是非空，所以V不能表示为非平凡f-不变子空间的直和。

追问

仔细看了一下，应该是只有上若尔当块成立，因为基在映射后的向量应该是这组基左乘变换的矩阵。
你的回答非常棒

Answer 3

居然没人回答，肯定是因为跟我一样的看不懂，不会写。