Question

求下列幂级数的和函数常数项级数之和 ∑(2n一l)/2^n

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Answer 1

　　考虑幂级数

　　　f(x) = ∑(n≥1)[(n+1)(x^n)]，|x|<1，
积分，得
　　　∫[0,x]f(t)dt
　　= ∑(n≥1)∫[0,x][(n+1)(t^n)]dt
　　= ∑(n≥1)x^(n+1)
　　= -(1+x)+1/(1-x)，|x|<1，
求导，得
　　　f(x) = -1+1/(1-x)²，|x|<1，
这样，
　　　∑(n≥1)[(2n-1)/(2^n)]

　　= 2∑(n≥1)[(n+1)(1/2)^n] -3∑(n≥1)(1/2)^n
　　= 2f(1/2) -3∑(n≥1)(1/2)^n
　　= ……