Question

高数，三重积分的疑问

如图，解法是用先一后二的方法，红色箭头那里我不懂怎么得出来
另外，若用柱面坐标下的三重积分方法，x+y+z无法消去产生的cos和sin，这种方法能算出吗？





Answer 1

x在区域D：x^2+y^2<=1上的积分为0，因为x是关于y轴的奇函数，而积分区域关于y轴对称，所以积分为0.
同理，y在区域D上的积分也为0（y关于x轴是奇函数）
所以被积函数由∫∫D(x+y+1/2)dD=∫∫D(1/2)dD=π/2

追问

∫∫D(1/2)dD=π/2

这个怎么算的？

追答

这个其实就是积分区域D面积的1/2，积分区域D是半径为1的圆，所以积分面积是π/2

追问

明白了，但是我这种柱面坐标下的解法怎么算不出π/2
呢？帮忙看看

追答

第二步，z的那一项为什么变成1了

追问

啊！原来公式里的Z是换成z，第1次积分后是1/2，第2次积分后是1/4，结果是π/2

追答

是的