Question

若a,b都是有理数，试比较|a+b|与|a|+|b|的大小。(求答案和解析)

Answer 1

如下：

(|a|+|b|)²-(|a+b|)²=(a²+b²+2|ab|)-( a²+b²+2ab)

=2（|ab|-ab）

设T=2（|ab|-ab）

1、当ab≥0时，即a、b同号或a、b中至少有一个为0时。则T=0，所以|a|+|b|=|a+b|。

2、当ab<0时，即a、b异号时，则T=2（|ab|-ab）=-4ab＞0，所以|a|+|b|>0。

综上所述：|a|+|b|≥|a+b|。

介绍

有理数a，b的大小顺序的规定：如果a-b是正有理数，则称当a大于b或b小于a，记作a>b或b<a。任何两个不相等的有理数都可以比较大小。

有理数集与整数集的一个重要区别是，有理数集是稠密的，而整数集是密集的。将有理数依大小顺序排定后，任何两个有理数之间必定还存在其他的有理数，这就是稠密性。整数集没有这一特性，两个相邻的整数之间就没有其他的整数了。

Answer 2

追问

看不懂

Answer 3

la+bl<=lal+lbl
当ab异号是时<
当ab同号时=

Answer 4

1、题目分析：本题属于绝对值不等式性质证明(|a|+|b|≥|a+b|≥|a|-|b|)。证明方法有向量法、比较法、综合法。那么直接比较很难比较大小。因为考虑到|a+b|≥0, |a|+|b|≥0,所以可以平方后进行比较。
2、解：
(|a|+|b|)²-(|a+b|)²=(a²+b²+2|ab|)-( a²+b²+2ab)
=2（|ab|-ab）
设T=2（|ab|-ab）
1）当ab≥0时，即a、b同号或a、b中至少有一个为0时.则T=0，所以|a|+|b|=|a+b|
2）当ab<0时，即a、b异号时，则T=2（|ab|-ab）=-4ab＞0，所以|a|+|b|>0.
综上所述：|a|+|b|≥|a+b|
3、备注：题目延伸,可以用比较法证明：在a、b实数范围内，|a+b|≥|a|-|b|