Question

关于高一的函数题目

定义在实数集上的函数f（x），对任意的x，y属于R，有f（x+y）+f（x-y）=2f（x）*f（y），且f（0）不等于0
1）求证f（0）=1
2）求证y=f（x）是偶函数
3）若存在常数c，使f（c/2）=0,求证：对任意X属于R，有f（x+c)=-f(x)成立

Answer 1

(1)令x=0，y=0，则f(0)+f(0)=2f(0)*f(0)，即f（0）=[f(0)]^2，因为f(0)不等于0，等号两边同除以f(0)，得f(0)=1
(2)令x=0,可得f(0+y)+f(0-y)=2f(0)*f(y)=2f(y)
即f(y)+f(-y)=2f(y),所以f(y)=f(-y),所以函数是偶函数
(3)令x=a+c/2,y=c/2,代入函数式可得
f(a+c)+f(a)=2*f(a+c/2)*f(c/2),因为
f（c/2）=0,所以可得f(a+c)+f(a)=0,又令x=a,
即可得f(x+c)+f(x)=0,f（x+c)=- f(x)

Answer 2

1)设x=0，y=0，则f(0)+f(0)=2f(0)*f(0)，即f（0）=f(0)的平方，因为f(0)不等于0，等号两边同处以f(0)，得f(0)=1

Answer 3

我只说这太简单了