Question

高数左右极限问题

这个±是怎么判别出来的？难道1的右极限是-1？

Answer 1

分三步解答楼主的问题。

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【第一、反正切函数，在主值区域上的一对一特性】

很多人，都误以为微积分中的很多条件都是充要条件，

譬如二阶导数等于零时，是POI = 拐点 = point of inflexion；

其实是错误的。

二阶导数等于零，可以不是拐点；

极大值点、极小值点处的二阶导数都可以等于零！

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这样的逻辑问题，在微积分中比比皆是。

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极限计算中，计算极限，都是充分性，而非必要性。

但是【对于反三角函数，我们一反常态，刻意定义了主值区】。

也就是 principal values。

请参看下图，下图是 y = arc tan x 的图形。

在这个主值区内，是充要条件。

这是人为的规定，是一反常态的规定。

对于二次函数、三次函数、、、、、、都没有这样的反常规定！

这样的规定，就是 one-to-one 的单调性，

二次函数、三次函数、、、、都不是  one-to-one 。

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【第二、反正切图形，graph-sketching】

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【第三、楼主的问题解答】

x 趋向于 1-，表示从1的左侧趋近，也就是从0.9、0.99、、、、趋近，

无论怎样趋近，它与1的差值，是负数。虽然越来越接近于0，但毕竟

是从-0.1、-0.01、-0.001、-0.0001、、、趋近于0，倒数就是负无穷大；

根据上面第一的解释、第二的图形，得知 arctan 趋向于 -½π。

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x 趋向于 1+，表示从1的右侧趋近，也就是从1.1、1.01、、、、趋近，

无论怎样趋近，它与1的差值，是正数。虽然越来越接近于0，但毕竟

是从 0.1、0.01、0.001、0.0001、、、趋近于0，倒数就是正无穷大；

根据上面第一的解释、第二的图形，得知 arctan 趋向于 ½π。

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如有疑问，欢迎追问，有问必答，有疑必释。

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